胚培養士を目指す大学３年生です。この業界でもOB訪問という形でお話を伺ったり、見学させて頂いたりすることはできますか？それとも、直接クリニックに連絡して見学させて頂く方が良いのでしょうか？

胚培養士を目指しているということで、大変嬉しく思います。
OB訪問などを行っているというお話はあまり聞きませんが、大学の研究室から胚培養士になった先輩がいる場合は教授などを通じて話を聞くことは可能かと思います。

不妊クリニックの体質というか、風習で、施設の技術や性質をあまり外部に漏らしたくないという歴史があったため、見学なども面接を受けた学生限定に絞っている施設などが多いかと思います。
おすすめとしては、自分が希望する施設の前にいくつか大きいクリニック（大きいとは年間の周期数、患者数が多いという意味です)に面接に行って見学させてもらい、いろいろ質問して話を聞き出すのが良いかと思います。
大きいクリニックでは面接者の見学を断ることはほとんどないと思います。
頑張ってください。